线性映射 (施工中)

E. 向量空间的积与商

• 向量空间的积 :

  \[\boxed{ V_1 \times ... \times V_m = \{ (v_1 , ... , v_m) : v_1 \in V_1 , ... , v_m \in V_m\} }\]

  易知向量空间的积是向量空间。

  同时有 :

  \[\boxed{ \dim (V_1 \times ... V_m) = \dim V_1 + ... + \dim V_m }\]

  向量空间的积与直和同样存在关系，设 \(U_1, ... , U_m\) 均为 \(V\) 的子空间。线性映射 \(\Gamma : U_1 \times ... \times U_m \to U_1 + ... + U_m\) 定义为 \(\Gamma(u_1, ..., u_m) = u_1 + ... + u_m\) ，则

  \[\boxed{ U_1 + ... + U_m \text{是直和} \leftrightarrow \Gamma \text{是单射} }\]
  \[\boxed{ U_1 + ... + U_m \text{是直和} \leftrightarrow \dim(U_1+U_m) = \dim U_1 + ... + U_m }\]

F. 对偶