Ch12 数项级数¶

1.级数的敛散性¶

\[\sum u_n = u_1 + ... + u_n + ... \]

也叫数项级数或无穷级数

\[S_n = \sum_{i=1}^n u_i\]

若其收敛于 \(S\)，则称级数收敛，\(S\) 叫做级数的和。反之为发散。

柯西准则：级数收敛的充要条件是 \(\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m > N, p \in N\)

\[|u_{m+1} + ... + u_{m+p}| < \epsilon\]

发散的定义是类似的。

由此易知收敛的必要条件为 \(a_n \to 0\)。

几何级数：
p级数：
级数基本性质：
- 线性性：收敛级数的线性组合仍然是收敛的
- 去掉、增加或改变有限项不会改变级数的敛散性
- 结合律：收敛级数任意加括号不改变级数收敛性也不改变其和

Note

结合律对发散级数是无效的，有如下反例：

\[1-1+1-1+... \to (1-1)+(1-1)+...\]

正项级数：每一项都是正的级数
正项数项级数判别法
- 定义：部分和数列有界
- 柯西准则
- 比较判别法(极限形式)：若 \(\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\)
  - \(0<l<+\infty\)：两者同敛散
  - \(l=0\)：\(\sum v_n\) 收敛 \(\to\) \(\sum u_n\) 收敛
  - \(l=+\infty\)：\(\sum v_n\) 发散 \(\to\) \(\sum u_n\) 发散
- 比值判别法（极限形式）
  - \(\limsup_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1\) 收敛
  - \(\liminf_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1\) 发散
- 根值判别法（极限形式）
  - \(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} < 1\) 收敛
  - \(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} > 1\) 发散
- 积分判别法：若 \(f(n)\) 非负递减，则 \(\sum f(n)\) 与 \(\int_1^\infty f(x)\,dx\) 同敛散

交错级数：正负号相间的级数
绝对收敛：每项绝对值组成的级数收敛
条件收敛：非绝对收敛的收敛级数
阿贝尔引理：若 \(\varepsilon_1, ..., \varepsilon_n\) 单调且 \(v_n\) 的部分和 \(|\sigma_i| \leq A\)，则记 \(\varepsilon = \max_i\{|\varepsilon_i|\}\)，有

\[|\sum_{i=1}^n \varepsilon_iv_i| \leq 3\varepsilon A\]

级数重排：绝对收敛级数的和与积重拍不影响最终结果
一般项级数判别法：
- 柯西准则
- 莱布尼茨 (Leibniz) 判别法：交错级数每项绝对值单调递减且趋向于 0 \(\to\) 交错项级数收敛
- 阿贝尔 (Abel) 判别法：若 \(a_n\) 单调有界且 \(\sum b_n\) 收敛，则 \(\sum a_nb_n\) 收敛
- 狄利克雷 (Dirichlet) 判别法：若 \(a_n\) 单调趋向 0 且 \(\sum b_n\) 部分和数列有界，则 \(\sum a_nb_n\) 收敛