Ch13 函数列与函数项级数¶
1. 一致收敛性¶
- 函数列：一列定义在同一数集 \(E\) 上的函数 \(f_1, ..., f_n, ...\)
设 \(x_0 \in E\)，若 \(\{f_n(x_0)\}\) 收敛，则函数列在 \(x_0\) 收敛， \(x_0\) 为收敛点。反之为在点 \(x_0\) 发散。若 \(D \subset E\) 上每一点均收敛，则 \(\{f_n\}\) 在 \(D\) 上逐点收敛。
- 一致收敛：设函数列 \(\{f_n\}\) 与函数 \(f\) 定义在 \(D\) 上，若 \(\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, s.t. \forall n > N, \forall x \in D\)
则 \(\{f_n\}\) 在 \(D\) 上一致收敛于 \(f_n\)，记作 \(f_n \rightrightarrows f\)
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内闭一致收敛：所有内部闭区间上一致收敛
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函数列收敛判定
- 柯西准则：\(\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, s.t. \forall n, m > N, \forall x \in D\)
\[|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon\]-
\(\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in D} |f_n(x)-f(x)| = 0\)
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任意 \(D\) 上序列 \(x_n\)，\(f_n(x_n)-f(x_n)\) 收敛于 0
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函数项级数：\(\sum u_n(x)\)，其中 \(S_n(x) = \sum u_n(x)\) 为其部分和函数列.
函数项级数的一致收敛即为其部分和函数列的一致收敛
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函数项级数一致收敛判别：
- 魏尔斯特拉斯判别法 / M 判别法 / 优级数判别法：\(\sum M_n\) 为收敛的正项级数，若 \(\forall x \in D\)
\[|u_n(x)|\leq M_n\]则 \(\sum u_n(x)\) 一致收敛
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阿贝尔 (Abel) 判别法：若 \(u_n(x)\) 单调(对于某个 \(x_0\)，其形成的数列是单调的)一致有界且 \(\sum v_n(x)\) 一致收敛，则 \(\sum u_n(x)v_n(x)\) 收敛
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狄利克雷 (Dirichlet) 判别法：若 \(u_n(x)\) 单调趋向 0 且 \(\sum v_n(x)\) 部分和一致有界，则 \(\sum u_n(x)v_n(x)\) 收敛
Note
- 函数在闭区间上连续即可推出其在闭区间一致连续
2. 一致收敛函数列与函数项级数的性质¶
函数列的性质
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设 \(\{f_n\}\) 在 \((a,x_0)\cup(x_0,b)\) 一致收敛于 \(f\) 且 \(\lim_{x\to x_0}f_n(x)=a_n\)，则 \(\lim_{n\to \infty} a_n\) 与 \(\lim_{x\to x_0} f(x)\) 存在且相等。
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连续性：\(\{f_n\}\) 一致收敛（可弱化至内闭一致收敛）且每项连续 \(\to\) 极限函数连续
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可积性：\(\{f_n\}\) 一致收敛且可积，则 \(\lim \int_a^bf_n(x)\,dx = \int_a^b(\lim f_n(x))\,dx\)
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可导性：\(\exists x_0,s.t. \{f_n(x_0)\}\)收敛，且导函数连续，导函数列一致收敛。则 \(\{f_n\}\) 一致收敛于 \(f\) 且 \((\lim f_n)' = \lim f_n'\)
Note
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课本上对于可积性和可导性中连续的假设实际上不是必要的，只是为了更好的证明结论
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Dini 定理：若函数列 \(\{f_n(x)\}\) 定义在闭区间 \(X\) 上且逐项连续，对于 \(\forall x\in X\) 序列单调，其极限函数 \(f(x)\) 存在。则 \(f(x)\) 连续 \(\leftrightarrow\) \(\{f_n(x)\}\) 在 \(X\) 上一致收敛
函数项级数的性质
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连续性：\(u_n(x)\) 每项连续且 \(\{S_n\}\) 一致收敛 \(\to\) 和函数连续
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逐项积分：\(u_n(x)\) 每项连续且一致收敛于 \(S(x)\)，则 \(\sum\int_a^bu_n(x)\,dx=\int_a^bS(x)\,dx\)
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逐项求导：\(u_n\) 每项均有连续导函数，若 \(\sum u_n(x)\) 逐点收敛于 \(S(x)\)，且导函数的级数一致收敛，则 \(S(x)\) 连续可导且 \(\sum(\frac{d}{dx}u_n(x)) = \frac{d}{dx}(\sum u_n(x))\)