幂级数¶
1. 幂级数¶
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幂级数： \(\sum a_n(x-x_0)^n\)，下假定 \(x_0=0\)
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阿贝尔第一定理：\(\sum a_nx^n\) 在 \(x=r_0\) 收敛，则在 \(|x| < |r_0|\) 收敛，反之亦成立。
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收敛半径 ：由上述，其能确定函数在 \((x_0-R,x_0+R)\) 收敛，我们称 \(R\) 为收敛半径，\((x_0-R,x_0+R)\) 为收敛区间
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收敛域：需考察两个端点的收敛情况
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R的计算：
- \(\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho(\rho \ne0,+\infty),R=\frac{1}{\rho}\)
- \(\lim_{n\to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \rho,R=\frac{1}{\rho}\)
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幂级数性质：
- 阿贝尔第二定理：幂级数在 \((-R,R)\) 内闭一致收敛
- 若在端点收敛，则在包含该端点的闭区间上一致收敛。
- 和函数在收敛区间内连续、可积、可微，可逐项求导和积分。
2. 函数的幂级数展开¶
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泰勒级数：\(\sum \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i\)， \(f(x)\) 等于其泰勒级数的和函数的充分必要条件是在定义域内泰勒余项 \(R_n\to 0\)
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唯一性：若上述条件成立，那么幂级数展开式是唯一的
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麦克劳林级数：\(x_0=0\)
Note
- Weierstrass 第一逼近定理：\(f(x)\in C[a,b],\forall \epsilon > 0, \exists P(x) \in P(R), s.t.\)
\[\sup_{x\in[a,b]}|f(x)-P(x)|<\epsilon\]
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泰勒余项：
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积分形：\(\frac{1}{n!}\int_0^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\,dt\)
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拉格朗日型：\(\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)x^{n+1}, (\xi \in [0,x])\)
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柯西型：\(\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\theta x)(1-\theta)^nx^{n+1}, (\theta \in [0,1])\)
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常见展开式：
\[e^x=\sum \frac{x^n}{n!}\]
\[\sin x=\sum \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
\[\cos x=\sum \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\]
\[\ln(x+1)=\sum \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}\]