多元函数的极限与连续¶

1. 平面点集与多元函数¶

平面点集： \(E = \{(x,y)|P(x,y)\}\)
邻域：圆邻域 / 方邻域，记作 \(U(P; \delta)\)
空心邻域：记作 \(\mathring{U}(P; \delta)\)
内点：\(\exists U(P; \delta) \subset E\) ，全体内点的集合称为 \(E\) 的内部，记作 \(int\,E\)
外点：\(\exists U(P; \delta) \cap E= \varnothing\)
界点：\(\forall \delta, U(P; \delta) \cap E \ne \varnothing \land U(P; \delta) \cap E^c \ne \varnothing\) 则 \(E^c=\mathbb{R}^2 \backslash E\) 为全体平面的余集，全体界点构成 \(E\) 的边界，记作 \(\partial E\)
聚点：任意空心邻域都含有 \(E\) 的点，全体聚点称为 \(E\) 的导集，记作 \(S^d\)
孤立点：\(E\) 中不是聚点的点
开集：\(int\,E=E\)
闭集：\(S^d \subset E\)

在书中连通均指直线连通，即任意两点均存在 \(E\) 有限折线可以连接他们

开域：连通的非空开集
闭域：开域连同其边界
区域：开域、闭域或开域及其部分界点
收敛：\(\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, s.t.\,\forall n > N, P_n \in U(P_0; \varepsilon)\) 则 \(\{P_n\}\) 收敛于 \(P_0\) 。易得其等价定义为与 \(P_0\) 距离所组成的数列 \(\{\rho_n\}\) 极限为 0
完备性定理：
- 柯西准则
- 闭域套定理
- 聚点定理：有界无限点集必有聚点
  - 有界无限点列必存在收敛子列
- 有限覆盖定理：有界闭域的开覆盖必有有限子覆盖
二元函数： \(z=f(x,y):D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)

二重极限：\(f(x_0,y_0)\) 在 \(\mathring{U}(x_0,y_0)\) 有定义，若 \(\exists A, \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0, s.t.\,\forall(x,y)\in \mathring{U}((x_0,y_0); \delta)\)

\[|f(x,y) - A| < \varepsilon\]

则 \(\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A\)

二重极限存在的充要条件：
- 函数定义域所有子集的极限存在且与原极限相同
- 对于任意定义域内趋于 \(P_0\) 的点列 \(\{P_n\}\)，\(\{f(P_n)\}\) 均收敛
累次极限：\(x_0, y_0\) 为定义域在两个坐标轴投影 \(X, Y\) 的聚点。若 \(\forall y \in Y, \exists \varphi(y) = \lim_{x \to x_0}f(x, y), L = \lim_{y \to y_0} \varphi(y)\) ，则 \(L\) 为先对 \(x\) ，后对 \(y\) 的累次极限，记作

\[L=\lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y)\]

同理 \(K\) 为先对 \(y\) ，后对 \(x\) 的累次极限，记作

\[K=\lim_{x \to x_0} \lim_{y \to y_0} f(x, y)\]

\[\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)\]

则 \(f(x, y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 连续

\[\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)\]

\[\Delta_x f(x_0, y_0) = f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)\]

\[\Delta_y f(x_0, y_0) = f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)\]

连续函数性质：
- 有界闭域连续函数必有界，且能取到最大值和最小值
- 有界闭域连续函数必一致连续
- 区域连续函数任取两点必存在另一点其值介于两点值中间（介值定理）