多元函数微分学¶

1. 可微性¶

可微：\(\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho), \rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)
全微分：若满足上述式子，则全微分记作 \(dz|_{P_0}=df(x_0, y_0)=A \Delta x + B \Delta y\)
偏导数：二元函数固定一个自变量时，对另一个变量的导数，如对 \(f(x, y)\) 的第一个参数求导，有记法

\[f_1'(x, y),\, \frac{\partial f}{\partial x}\]

可微必要条件：对于点 \((x_0, y_0)\)，其可微的必要条件为两个偏导数均存在且

\[A = f_1'(x_0, y_0), B = f_2'(x_0, y_0)\]

可微充分条件：两个偏导数存在且连续

Note

偏导数连续 \(\to\) 函数可微 \(\to\) 函数连续 \(\land\) 函数偏导数存在

一个简单的中值公式：若 \(f\) 在 \(U(x_0, y_0)\) 存在偏导数且 \((x, y) \in U(x_0, y_0)\)，则 \(\exists \xi = x_0 + \theta_1(x-x_0), \eta = y_0 + \theta_2(y-y_0), \theta_1, \theta_2 \in (0, 1)\)

\[f(x, y) - f(x_0, y_0) = f_1'(\xi, y)(x - x_0) + f_2'(x, \eta)(y - y_0)\]

由 \(z = f(x, y)\) 给出的曲面在 \(P(x, y, z)\) 存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是 \(f(x, y)\) 在 \((x, y)\) 可微

2. 复合函数微分法¶

链式法则：\(\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}\)

3. 方向导数与梯度¶

梯度：若 \(f(x, y, z)\) 在 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 对所有自变量均存在偏导数，则 \((f_1'(P_0), _2'(P_0), f_3'(P_0))\) 为其在该点的梯度，记作 \(\mathbf{grad}\,f(P_0)\) 或 \(\nabla f(P_0)\)
方向导数：对于从 \(P_0\) 出发的一条射线 \(l\)，考虑其与 \(U(P_0)\) 的交上的任意一点 \(P\) ，设其距离为 \(\rho\)，若 \(\lim_{\rho \to 0^+} \frac{f(P) - f(P_0)}{\rho}\) 存在，则其为该点在该方向的方向向量，记作 \(\frac{\partial f}{\partial l}|_{P_0}\)

若梯度存在，则设方向 \(l\) 的单位向量为 \(\vec{u} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\)，则

\[\frac{\partial f}{\partial l}|_{P_0}=\nabla f(P_0)\cdot\vec{u}\]

4. 泰勒公式与极值公式¶

若 \(f_{12}(x, y), f_{21}(x, y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 连续，则两者相等（即混合偏导数连续则可交换求导顺序）
凸区域上的中值公式：若 \(f\) 在凸开域（任意两点连线均在该区域内） \(D\) 上可微，则 \(\forall P(a, b), Q(a + h, b + k) \in D, \exists \theta \in (0, 1), s.t.\)

\[f(a + h, b + k) - f(a, b) = f_1'(a + \theta h, b + \theta k)h + f_2'(a + \theta h, b + \theta k)k\]

泰勒定理:

\[f(x_0 + h, y_0 + k) = \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{i!}(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y})^n f(x_0, y_0) + \frac{1}{(n + 1)!}(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y})^{n + 1} f(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k), \theta \in (0, 1)\]

极值必要条件：偏导数均为 0，这些点被称为 \(f\) 的稳定点
极值充分条件：记 \(H_f(P_0) = \begin{pmatrix} f_{11}(P_0) & f_{12}(P_0) \\ f_{21}(P_0) & f_{22}(P_0) \end{pmatrix}\) （黑塞 (Hesse) 矩阵）
- \(H\) 正定，即 \(\det(H)>0\) 且 \(f_{11} > 0\)，则取极小值
- \(H\) 负定，即 \(\det(H)>0\) 且 \(f_{11} < 0\)，则取极大值
- \(H\) 不定，即 \(\det(H)=0\) 则无法判断是否取到极值
- \(\det(H)<0\)，则无法取到极值