含参量积分

1. 含参量正常积分

• 含参量积分： \(F(x) = \int_{c(x)}^{d(x)} f(x, y)\,dy\)

• 含参量积分性质：

  • 连续性：若 \(f(x, y)\) 在区域 \(G=\{(x, y)|c(x)\leq y \leq d(x), a\leq x \leq b\}\) 上连续，则函数
  \[F(x)=\int_{c(x)}^{d(x)} f(x, y)\,dy\]

  在 \([a, b]\) 上连续

  其在矩形上等价于

  \[\lim_{x\to x_0}\int_{c}^{d} f(x, y)\,dy=\int_{c}^{d} \lim_{x\to x_0}f(x, y)\,dy\]
  • 可导性：若 \(f(x, y), f_1'(x, y)\) 在 \(R = [a, b] \times [p, q]\) 上连续， \(c(x), d(x)\) 为定义在 \([a, b]\) 上值含于 \([p, q]\) 内的可微函数，则
  \[F(x)=\int_{c(x)}^{d(x)} f(x, y)\,dy\]

  在 \([a, b]\) 上可导，且

  \[F'(x)=\int_{c(x)}^{d(x)} f_1'(x, y)\,dy + f(x, d(x))d'(x) - f(x, c(x))c'(x)\]
  • 可积性：若 \(f(x, y), f_1'(x, y)\) 在 \(R = [a, b] \times [c, d]\) 上连续，则
  \[\varphi(x)=\int_{c}^{d} f(x, y)\,dy\]
  \[\phi(y)=\int_{a}^{b} f(x, y)\,dx\]

  分别在 \([a, b], [c, d]\) 上可积，且积分值相等

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