曲线积分¶
1. 第一型曲线积分¶
- 第一型曲线积分定义：\(L\) 为可求长度曲线，\(f\) 定义在 \(L\) 上，作分割 \(T\)，把 \(L\) 分成 \(n\) 个可求长度的小曲线段 \(L_i\), \(L_i\) 的弧长为 \(\Delta s_i\) ，记分割的细度 \(||T||=\max_{1\leq i\leq n} \Delta s_i\), 在 \(L_i\) 上任取一点 \((\xi_i, \eta_i, ...)\)，若
\[\lim_{||T||\to 0} \sum f(\xi_i, \eta_i, ...)\Delta s_i = J\]
且 \(J\) 与 \(T\) 与 \((\xi_i, \eta_i, ...)\) 取法无关，则 \(J\) 为函数在 \(L\) 上的第一类曲线积分，记作
\[\int_Lf(x, y, ...)\,ds\]
其性质与定积分类似
- 计算公式：若 \(L : x = \varphi(t), y = \phi(t), z = \chi(t), t \in [\alpha, \beta]\)，则
\[\int_L f(x, y, z)ds = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t), \phi(t), \chi(t))\sqrt{\varphi'^2(t) + \phi'^2(t) + \chi'^2(t)}\,dt\]
2. 第二型曲线积分¶
- 定义：与第一型类似，不过将不同维分开来考虑，即
\[\lim P(x, y, z)\Delta x_i + Q(x, y, z)\Delta y_i + R(x, y, z)\Delta z_i\]
记作
\[\int_L P(x, y, z)\,dx + Q(x, y, z)\,dy + R(x, y, z)\,dz\]
也可写作
\[\int_L \mathbf{F} \cdot \, d \mathbf{r} = \int_{\overset{\frown}{AB}} \mathbf{F} \cdot \, d \mathbf{r}\]
其具有有向性，即
\[\int_{\overset{\frown}{AB}} \mathbf{F} \cdot \, d \mathbf{r} = -\int_{\overset{\frown}{BA}} \mathbf{F} \cdot \, d \mathbf{r}\]
- 计算公式：若 \(L : x = \varphi(t), y = \phi(t), z = \chi(t), t \in [\alpha, \beta]\)，则
\[\int_L P(x, y, z)\,dx + Q(x, y, z)\,dy + R(x, y, z)\,dz = \int_\alpha^\beta [P(\varphi(t), \phi(t), \chi(t))\varphi'(t) + Q(\varphi(t), \phi(t), \chi(t))\phi'(t) + R(\varphi(t), \phi(t), \chi(t))\chi'(t)]dt\]
也可记作
\[\int_L \mathbf{F} \cdot \, d \mathbf{r} = \int_\alpha^\beta \mathbf{F}(r(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt\]