重积分¶

二重积分概念¶

内面积 / 外面积：对于一个有界图形 \(P\)，用直线网 \(T\) 将坐标轴分成多个矩形，令只包含内点的矩形面积和为 \(s_P(T)\)，令包含内点或边界点的矩形面积和为 \(S_P(T)\)。由确界存在定理，存在

\[\underline{I_P} = \sup_T{s_P(T)}, \overline{I_P} = \inf_T{S_P(T)}\]

则 \(\underline{I_P}\) 为内面积，\(\overline{I_P}\) 为外面积

可求面积 / 面积：内面积等于外面积则可求面积，这个相等的值为 \(P\) 的面积
平面有界图像可求面积的充要条件
- \(\forall \varepsilon > 0, \exists T, s.t.\)
\[S_P(T) - s_P(T) < \varepsilon\]
- \(P\) 边界面积为 0
曲线面积为 0
分段光滑曲线所围成的有界闭区域可求面积
二重积分定义：\(\iint_Df(x, y)\,d\sigma = \lim_{||\Delta|| \to 0} \sum f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i\)

其性质与定积分类似

x 型区域 / y 型区域：
- x 型区域：\(D=\{(x, y)|y_1(x)\leq y \leq y_2(x), a\leq x \leq b\}\)
- y 型区域：\(D=\{(x, y)|x_1(y)\leq x \leq x_2(y), c\leq y \leq d\}\)
二重积分的计算：若 \(f(x, y)\) 在 \([a, b]\) 上的 x 型区域连续，且 \(y_1(x), y_2(x)\) 连续，则 \(\iint_Df(x, y)\,d\sigma = \int_a^b\,dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y)\,dy\)

在 y 型区域同理

于是可以将图形分割成若干个 x 型区域与 y 型区域来计算积分

格林 (Green) 公式：若 \(P(x, y), Q(x, y)\) 在有界闭区域 \(D\) 上连续且由连续的一阶偏导数，\(L = \partial D\) 正向（区域始终在曲线的左边），则

\[\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,d\sigma=\oint_L P\,dx+Q\,dy\]

单连通闭区域：可以不经过 \(D\) 外的点连续收缩到 \(D\) 中的某一点（没有中间空缺的区域）
路径无关性：设 \(D\) 为单连通闭区域，若 \(P(x, y), Q(x, y)\) 在 \(D\) 内连续，且具有连续偏导数，则以下四个条件等价
- \(D\) 内任意光滑封闭曲线 \(L\) 均有 \(\oint_L P\,dx+Q\,dy = 0\)
- \(D\) 内任意光滑曲线 \(L\) \(\int_L P\,dx+Q\,dy\) 的值只与起点与终点有关
- \(P\,dx+Q\,dy\) 是 \(D\) 内某函数 \(u(x, y)\) 的全微分，即在 \(D\) 内有 \(du = P\,dx+Q\,dy\)
- 在 \(D\) 内处处成立 \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)
同时有

\[u(x, y) = \int_{A(x_0, y_0)}^{B(x, y)} P(s, t)\,ds + Q(s, t)\,dt\]

是 \(P\,dx+Q\,dy\) 的原函数

Note

平面区域面积：\(\Delta D = \frac{1}{2} \oint_L x\,dy + y\,dx\)
高斯积分：\(\oint_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=\begin{cases}0, & \text{不包围原点}, \\2\pi, & \text{包围原点}. & \end{cases}\)

\[\iint_D f(x, y)\,dxdy = \iint_{D'}f(x(u, v), y(u, v))|J|\,dudv\]

三重积分与二重积分类似，在此不再叙述

投影法计算（先 1 后 2）：若 \(V=\{(x,y,z)\,|\,(x,y)\in D, z_1(x,y)\leq z\leq z_2(x,y)\}\subset [a,b]\times[c,d]\times[e,h]\)，其中 \(D\) 为 \(V\) 在 \(Oxy\) 平面上的投影，\(z_1(x,y), z_2(x,y)\) 是 \(D\) 上的连续函数，函数 \(f(x,y,z)\) 在 \(V\) 上的三重积分存在，且对任意 \((x,y)\in D\),

\[G(x,y)=\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\]

亦存在，则积分 \(\iint_{D}G(x,y)\,dxdy\) 存在，且

\[\iiint_{V}f(x,y,z)\,dxdydz=\iint_{D}G(x,y)\,dxdy=\iint_{D}dxdy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\]
平面截割法计算（先 2 后 1）：若 \(V \subset [a,b] \times [c,d] \times [e,h]\)，函数 \(f(x,y,z)\) 在 \(V\) 上的三重积分存在，且对任意固定的 \(z \in [e,h]\)，积分 \(\varphi(z) = \iint_{D_z} f(x,y,z) \, dx \, dy\) 存在，其中 \(D_z\) 是截面 \(\{(x,y) \mid (x,y,z) \in V\}\)，则 \(\int_{e}^{h} \varphi(z) \, dz\) 存在，且

\[\iiint_{V} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz = \int_{e}^{h} \varphi(z) \, dz = \int_{e}^{h} dz \iint_{D_z} f(x,y,z) \, dx \, dy\]

三重积分换元公式：若雅可比行列式 \(J = \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix} \ne 0\)，则

\[\iiint_D f(x, y, z)\,dxdy = \iiint_{D'}f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J|\,dudvdw\]

柱面坐标变换：\(x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, z = z, J = r\)
球坐标变换：\(x = r \sin \varphi \cos \theta, y = r \sin \varphi \sin \theta, z = r \cos \varphi, J = r^2 \sin \varphi\)

曲面面积

\[\begin{aligned} A(S) = & \iint_D ||\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|| \, dudv\\ = & \iint_D \sqrt{(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)})^2 + (\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)})^2 + (\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)})^2} dudv\\ = & \iint_{D}\sqrt{EG-F^2}dudv \end{aligned}\]

其中

\[\begin{aligned} & E=x_{u}^{2}+y_{u}^{2}+z_{u}^{2}, \\ & F=x_{u}x_{v}+y_{u}y_{v}+z_{u}z_{v}, \\ & G=x_{v}^{2}+y_{v}^{2}+z_{v}^{2} \end{aligned}\]