曲面积分¶
1. 第一型曲面积分¶
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第一型曲面积分定义：\(\lim_{||T||\to 0} \sum f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta S_i = \iint_S f(x, y, z) \, dS\)
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计算公式
\[\begin{aligned} \iint_S f(x, y, z) \, dS = & \iint_D f(\mathbf{r}(u, v))||\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|| \, dudv\\ = & \iint_{D} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))\sqrt{(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)})^2 + (\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)})^2 + (\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)})^2} dudv\\ = & \iint_{D}f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG-F^2}dudv \end{aligned}\]其中
\[\begin{aligned} & E=x_{u}^{2}+y_{u}^{2}+z_{u}^{2}, \\ & F=x_{u}x_{v}+y_{u}y_{v}+z_{u}z_{v}, \\ & G=x_{v}^{2}+y_{v}^{2}+z_{v}^{2} \end{aligned}\]
2. 第二型曲面积分¶
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第二型曲面积分定义：\(\lim P(x, y, z)(\Delta S_i)_{yz} + Q(x, y, z)(\Delta S_i)_{zx} + R(x, y, z)(\Delta S_i)_{xy} = \iint_S P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy\)
也可写作
\[\iint_L \mathbf{F} \cdot \, d \mathbf{S}\] -
计算公式：
若给定显式表示 \(S:z=z(x, y), (x, y)\in D\)，则
\[\iint_{S}R\,dxdy=\iint_{D}R(x, y, z(x, y))\,dxdy\]若给定参数化表示，则
\[\iint_{S}P\,dydz=\pm\iint_{D}P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\,dudv\]\[\iint_{S}Q\,dzdx=\pm\iint_{D}Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\,dudv\]\[\iint_{S}R\,dxdy=\pm\iint_{D}R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\,dudv\]正负号由曲面正侧决定
也可以通过
\[\iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u, v))(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v) \, dudv\]
3. 高斯公式与斯托克斯公式¶
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高斯 (Gauss) 公式：设空间区域 \(V\) 由分片光滑的双侧封闭曲面 \(S\) 围成.若函数 \(P,Q,R\) 在 \(V\) 上连续,且有一阶连续偏导数,则
\[\iiint_{V}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dxdydz=\iint_{S}P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy\]其中 \(S\) 取外侧
利用此可以简化第二类曲面积分的计算
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斯托克斯公式：\(\iint\limits_{S}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\,dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\,dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\,dxdy=\oint_LP\,dx+Q\,dy+R\,dz\)
其中 \(S\) 的侧与 \(L\) 的方向按右手法则确定
也可以记作
\[\iint_S\begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}\]